Геометрия сферических многообразий

Независимый Московский Университет
Осень 2009

Основная цель курса - рассмотреть наиболее часто встречающиеся в математике примеры сферических многообразий (такие как многообразия флагов и торические многообразия) и изучить их геометрию (например, описать умножение в кольце когомологий). Мы увидим, что многие геометрические инварианты сферических многообразий красиво выражаются в терминах многогранника Ньютона, который можно связать с многообразием. Первоначально теория многогранников Ньютона была развита для торических многообразий, но оказалось, что её можно перенести и на более общие многообразия. Это даёт единый подход к изучению геометрии многих, на первый взгляд очень разных, многообразий (например, кольца когомологий многообразий полных флагов и торических многообразий имеют очень похожие описания через многогранники).

Программа:

• Многообразия флагов: проективные пространства, грассманнианы, многообразия полных флагов. Клетки и циклы Шуберта. Кольца когомологий многообразий полных флагов: представление Бореля. Исчисление Шуберта: формула Пьери-Шевалле, операторы разделённых разностей.
• Торические многообразия: комплексные торы, аффинные и проективные пространства, раздутия проективных пространств. Многочлены Лорана и многогранники Ньютона. Теоремы Кушниренко и Бернштейна-Хованского о числе общих нулей многочленов Лорана с данными многогранниками Ньютона. Кольца когомологий гладких проективных торических многообразий: представление Пухликова-Хованского.
• Сравнение многообразий флагов и торических многообразий. Многогранник Гельфанда-Цетлина как многогранник Ньютона для многообразия флагов. Обобщения торических многообразий: чудесные компактификации Де Кончини-Прочези, регулярные компактификации редуктивных групп. Теорема Казарновского-Бриона (обобщение теоремы Кушниренко). Многогранник Ньютона регулярной компактификации.

Учебные материалы:

• Задачи к экзамену
• Записки к курсу: лекции с 1-й по 10-ю
  (записки набраны при участии Игоря Нетая)
• Теория пересечений
  Записки к моему курсу по теории пересечений в университете Якобса, Бремен. Содержат элементарное введение в теорию пересечений на алгебраических многообразиях. Подробно обсуждается, как считать индекс пересечения гиперповерхностей. Среди основных примеров - исчисление Шуберта на грассманнианах и теорема Безу для проективных пространств и торических многообразий.
• Смешанный объём
  Записки 3-ей лекции курса "Выпуклые тела и выпуклые многогранники", прочитанному Владленом Тимориным в НМУ.

Список рекомендуемой литературы и полезные ссылки:
Этот список пополняется каждую неделю.

• Решение задачи про четыре прямых в вещественном случае.
• Решение задачи про число коник, касающихся пяти данных в вещественном случае, и интересная статья про историю задачи.
• Решение задачи про число коник, касающихся пяти данных в комплексном случае.

1. И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. И. Гельфанд, Клетки Шуберта и когомологии пространств G/P, УМН, 28:3(171) (1973), 3–26
   В этой статье объясняется, какие многочлены соответствуют циклам Шуберта в представлении Бореля. Есть также полезное введение к английскому переводу.
2. M. Brion, Lectures on the geometry of flag varieties, Topics in cohomological studies of algebraic varieties, 33--85, Trends Math., Birkhauser, Basel, 2005
   Содержит много полезных фактов про многообразия флагов.
3. M. Brion, Varietes spheriques, записки к курсу
   
4. M. Brion, Spherical varieties: an introduction, Progr. Math., vol. 80, Birkhaeuser, Boston, 1989, pp. 11–26.
   В качестве приложения общих результатов описывается геометрия пространства полных коник.
5. M. Brion, Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietes spheriques, Duke Math J. 58, no.2 (1989), 397-424
6. Ф. Гриффитс, Дж. Харрис, Принципы алгебраической геометрии. В 2 томах. М., Мир, 1982
7. M.Demazure, Desingularization des Varietes de Schubert generalisees, Ann. Sc. Ec. Norm. Super. 7 (1974) 53-88. В этой статье также объясняется, какие многочлены соответствуют циклам Шуберта в представлении Бореля, но подход существенно отличается от подхода Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда.
8. S. Kleiman, D. Laksov, Schubert Calculus, Amer. Math. Monthly, 79 (1972), 1061-1082
   Элементарное введение в исчисление Шуберта на грассманнианах.
9. A. Kirillov, S. Fomin, The Yang-Baxter equation, symmetric functions, and Schubert polynomials, Discrete Mathematics, 153 (1996), 123-143
   Комбинаторное описание мономов в многочлене Шуберта через приведённые диаграммы (pipe-dreams).
10. C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties I, Lect. Notes in Math. 996, Springer, 1983, 1-43
    Конструкция чудесных компактификаций для симметрических пространств. Приводится алгоритм вычисления индексов пересечения дивизоров на чудесных компактификациях, обобщающий соответствующий алгоритм для торичесих многообразий.
11. C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties II Intersection theory, Advanced Studies in Pure Mathematics 6 (1985), Algebraic groups and related topics, 481-513
    Построена теория пересечений (кольцо условий) на симметрических пространств. Позднее Де Кончини заметил, что все результаты дословно переносятся на произвольные сферические однородные пространства.
12. L. Manivel, Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci. SMF/AMS Texts and Monographs 6, 2001; Глава 3
    Очень интересная и хорошо написанная книга. В 3-ей главе излагается геометрия грассманнианов и многообразий полных флагов.
13. Kiumars Kaveh, Note on the cohomology ring of spherical varieties and volume polynomial, arXiv:math/0312503v2 [math.AG]
14. Б.Я. Казарновский, Многогранники Ньютона и формула Безу для матричных функций конечномерных представлений, Функц. анализ и его прил. 21:4 (1987), 73-74
15. Friedrich Knop, The Luna-Vust theory of spherical embeddings, Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (Hyderabad, 1989), 225-249, Manoj Prakashan, Madras, 1991
    Классификация сферических многообразий через вееры. Объясняется, почему любая эквивариантная компактификация однородного сферического пространства содержит конечное число орбит.
16. Д.А. Тимашёв, Эквивариантные компактификации редуктивных групп, Мат. Сб., 2003, 194:4, 119-146
    По представлениям редуктивной группы строятся её проективные компактификации. В случае комплексного тора, это совпадает с конструкцией проективных торических многообразий по многогранникам Ньютона.
17. А.Г. Хованский, Многогранники Ньютона и торические многообразия, Функц. анализ и его прил., 11:4 (1977), 56–64
18. А.Г. Хованский, Многогранники Ньютона и род полных пересечений, Функц. анализ и его прил., 12:1 (1978), 51–61
19. И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии МЦНМО, 2007; глава про индексы пересечения

• Лекция 1 (17 сентября)
  Исчислительная геометрия и задача Шуберта о четырёх прямых, исчисление Шуберта. Многочлены Лорана и их многогранники Ньютона. Теорема Кушниренко о числе общих нулей многочленов Лорана в комплексном торе (пока только формулировка). Задача про число коник, касающихся пяти данных. Краткий обзор основных примеров сферических многообразий: грассманнианы, многообразия частичных флагов, торические многообразия, построенные по многогранникам Ньютона, чудесная компактификация пространства невырожденных коник.
• Лекция 2 (24 сентября)
  Теория пересечений: как считать индекс пересечения n гиперповерхностей на n-мерном многообразии. Дивизоры, линейная эквивалентность. Исключительный дивизор в раздутии проективной плоскости и его индекс самопересечения. Гиперплоские сечения, степень многообразия. Группа Пикара, эффективные и очень обильные дивизоры. Решение задачи Шуберта и задачи про число коник, касающихся трёх данных прямых и проходящих через две данные точки.
• Лекция 3 (1 октября)
  Многообразие полных флагов в C^n: действие GL_n, клетки и циклы Шуберта, группа Вейля, разложение Брюа. Пример: многообразие полных флагов в C^3. Обобщённые многообразия полных флагов. Группа Пикара и кольцо когомологий многообразия полных флагов (представление Бореля). Теорема о проективном расслоении.
• Лекция 4 (8 октября)
  Классы Черна векторных расслоений, формула Уитни. Линейные расслоения и их классы Черна. Доказательство представления Бореля. Теорема о расслоении флагов (обобщение теоремы Бореля и теоремы о проективном расслоении) и её доказательство. Очень обильные дивизоры на многообразии флагов и связь с теорией представлений группы GL_n.
• Лекция 5 (15 октября)
  Многочлены Шуберта и операторы разделённых разностей (операторы Демазюра). Подход Демазюра: геометрический смысл операторов разделённых разностей. Подход Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда: алгебраическая и геометрическая формулы Шевалле. Приведённые диаграммы (pipe-dreams) и теорема Кириллова-Фомина.
• Лекция 6 (22 октября)
  Когомологии многообразий частичных флагов. Теорема Бореля для обобщённых многообразий полных флагов. Весовые многогранники, пермутоэдр. Геометрическая реализация циклов Шуберта, модули Демазюра. Самодвойственность базиса из циклов Шуберта и неотрицательность структурных коэффициентов. Формула Шевалле через весовой многогранник.
• Лекция 7 (29 октября)
  Торические многообразия. Описание через многогранники и через вееры. Соответствие между орбитами и гранями, аффинные карты. Критерий гладкости для торического многообразия. Разрешение особенностей взвешенной проективной плоскости через многоугольники Ньютона и связь с цепными дробями.
• Лекция 8 (5 ноября)
  Клеточное разбиение для гладкого торического многообразия и теория Морса на многогранниках Ньютона. Классы Черна гладкого торического многообразия. Торические многообразия Фано. Группа Пикара торического многообразия. Связь между дивизорами и многогранниками. Доказательство теоремы Кушниренко.
• Лекция 9 (12 ноября)
  Смешанный объём и теорема Бернштейна-Хованского. Многочлен объёма и представление Пухликова-Хованского для когомологий гладкого торического многообразия. Сравнение с представлением Бореля для кольца когомологий полных флагов. Теория пересечений на однородных пространствах: теорема Клеймана о трансверсальности, кольцо условий сферического однородного пространства.
• Лекция 10 (19 ноября)
  Теорема Де Кончини-Прочези: кольцо условий сферического однородного пространства как прямой предел колец когомологий гладких эквивариантных компактификаций. Кольцо условий комплексного тора через непрерывные функции кусочно-полиномиальные на веере. Чудесные и регулярные компактификации сферических однородных пространств. Пространство полных коник.
• Лекция 11 (26 ноября)
  Решение задачи про число коник, касающихся пяти данных. Конструкция Демазюра чудесной компактификации. Регулярные компактификации редуктивных групп, построенные по представлениям. Связь с весовыми многогранниками и проективными торическими многообразиями. Клеточное разбиение Бялыницкого-Бирули.
• Лекция 12 (3 декабря)
  Классы Черна регулярных компактификаций. Группа Пикара регулярных компактификаций и теорема Казарновского-Бриона. Алгоритм Де Кончини-Прочези для вычисления индексов пересечения дивизоров на чудесной компактификации и доказательство теоремы Казарновского-Бриона. Многогранник Гельфанда-Цетлина и многогранник Ньютона регулярной компактификации. Открытые задачи.