Семинары по алгебре | Осень 2016 | Группа 104

Пятница, 10:45-12:20, ауд. 463; + Среда, 13:15-14:50, ауд. 463 (нечетные недели)

Литература

Дополнительно:

Семинары

2.09

Линейные системы и определители малых порядков. Метод Крамера. Геометрический смысл определителя.

Про площади, объемы и определители можно посмотреть эту лекцию для школьников.

Листок 1,   Дополнительно: изменение площадей и объемов под действием линейных отображений.

9.09, 14.09, 16.09

Я в отъезде, заменяли И. А. Чубаров и С. А. Гайфуллин. Темы занятий: метод Гаусса, линейные системы с параметром, линейная зависимость векторов, операции над матрицами.

Некоторые домашние задачи: 6.9 (в) 6.10 (в) 6.12 (и) 6.14 (а) 17.1 (б,з) 17.2 (а) 17.3 (в) 17.4 (а,б) 17.7 (задачник Кострикина, 2001 г.)

23.09

Векторные пространства и их подпространства. Пространство решений однородной системы. Базис. Фундаментальная система решений.

Листок 2,   Дополнительно: линейные рекуррентные последовательности и матрицы.

28.09

Ранг матрицы и его основные свойства. Обоснование алгоритма нахождения ФСР.

Листок 3

30.09

Обратная матрица, ее нахождение с помощью элементарных преобразований. Матричные уравнения.

Листок 4,   Дополнительно: линейная алгебра над F2, экстремальная комбинаторика и гипотеза Борсука.

Несколько лекций А. М. Райгородского об экстремальной комбинаторике: 1, 2

07.10

Элементарные матрицы и их связь с решением линейных систем. След матрицы и его свойства. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны.

Листок 5,   Дополнительно: применение алгебры в экономике: модель Леонтьева.

12.10

Контрольная №1. Темы контрольной:

Вариант 1,   Вариант 2

Задачи (для Гранильщиковой, Гулюкиной, Косова, Полуянова, Шеханова)

14.10

Перестановки. Умножение перестановок, запись в виде произведения независимых циклов. Четность перестановок.

Перестановки: все что вы хотели знать о них, но боялись спросить (краткий конспект с примерами и задачами; обновлено 09.12.2016).

Листок 6,   Дополнительно: применение алгебры в топологии (I): инварианты узлов, движения Рейдемейстера, многочлен Александера.

21.10

Порождающие симметрической группы. Определение знака перестановки с помощью транспозиций, четность цикла. Определители и их свойства.

Листок 7,   Дополнительно: применение алгебры в топологии (II): квантовые инварианты узлов, кронекеровское произведение матриц и уравнения Янга-Бакстера.

Элементарное введение в теорию узлов (А. Б. Сосинский): 1, 2

26.10

Методы вычисления определителей: приведение к треугольному виду, разложение по строке/столбцу, рекуррентные соотношения (для трёхдиагональных матриц). Формула для обратной матрицы.

Листок 8

28.10 - коллоквиум

Программа

02.11 (перенос с 09.11)

Кольца и поля. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексных чисел, их сложение, умножение и деление. Тригонометрическая форма записи. Формула Муавра и тождество Эйлера. Некоторые движения плоскости, ориентация. Инверсия. Корни из единицы, их сумма.

Листок 9

Дополнительные задачи:

1. Меняет ли инверсия относительно окружности ориентацию плоскости?

2. Образуют ли всевозможные инверсии (относительно различных окружностей) группу?

11.11

Проверочная работа (~30 мин). Темы:

Извлечение корней из комплексных чисел. Некоторые приложения в геометрии: задание эллипса, рациональная параметризация окружности.

Листок 10   Дополнительно: комплексные числа и фракталы: множества Жюлиа (Н. Долбилин)

18.11

Кольца и гомоморфизмы между ними. Примеры: матрицы, многочлены, кватернионы, октавы. Алгебра многочленов. Деление многочленов, нахождение наибольшего общего делителя (алгоритм Евклида). Корни, теорема Безу.

Листок 11,   Дополнительно: Кватернионы и их применение для описаний вращений трехмерного пространства. Теорема Гурвица о сумме квадратов.

23.11

Кратность корня многочлена, формальная производная и формула Тейлора. Разложение по степеням линейного двучлена.

Неприводимые многочлены над полями C и R, разложение на неприводимые множители. Всякий многочлен нечетной степени из R[x] имеет вещественный корень.

Делители нуля в кольцах, области целостности. Поле частных целостного кольца. Поле рациональных дробей, разложение рациональной дроби в сумму простейших.

Листок 12

25.11

Кольца вычетов; выяснение того, когда кольцо вычетов является полем. Циклические группы, группа Un корней степени n из 1. Группа (Z/nZ)*, ее порядок; первообразные корни.

Редукция по простому модулю и доказательство неразрешимости некоторых диофантовых уравнений.

Группы и их подгруппы, примеры. Теорема Лагранжа (теория групп) и теоретико-числовые следствия из нее (теоремы Эйлера и Ферма).

Листок 13,   Дополнительно: короткое доказательство квадратичного закона взаимности Гаусса.

02.12

Характеристика поля char(k), ее простота (при char(k)>0); пример бесконечного поля конечной характеристики. Каждое конечное поле характеристики p содержит p^n элементов.

Неприводимость многочленов над Q и Z: лемма Гаусса, признак Эйзенштейна. Многочлены деления круга Ф_n(x), доказательство их неприводимости над Q для n=p; над Q существуют неприводимые многочлены сколь угодно большой степени.

Редукционный признак неприводимости: если f -- многочлен с целыми коэффициентами, p не делит ведущий коэффициент и f (mod p) неприводим в Fp[x], то f неприводим в Q[x]. «Решето Эратосфена» для отыскания неприводимых многочленов малых степеней над конечными полями.

Листок 14

Дополнительно можете почитать о применении алгебры, в том числе колец вычетов, в криптографии (RSA, система Диффи-Хелмана и пр.): С. Б. Гашков, Современная элементарная алгебра, Глава 2, пар. 2.9

Более продвинутое чтение: Ю. Г. Прохоров, Эллиптические кривые и криптография, Глава 1

07.12

Кольцо многочленов от нескольких переменных, его факториальность. Лексикографический порядок. Симметрические многочлены. Степеннные суммы Ньютона. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах, примеры.

Листок 15

09.12

Результант и дискриминант. Теория исключений и решение простейших систем алгебраических уравнений, понятие о теореме Безу о плоских алгебраических кривых. Дискриминант кубического трехчлена, его связь с корнями.

Листок 16

16.12

Контрольная №2. Темы контрольной: Также предполагается, что вы свободно умеете проводить вычисления с комплексными числами и вычетами по простому модулю.