Курс: Алгебраическая геометрия
Лектор: Галкин Сергей Сергеевич
Ассистент: Попов Павел Павлович
Место: Усачёва 6, комната 208 (2 этаж)
Время: понедельник, 10:30-13:20 [ c 2017.09.04 до 2017.12.11 ]
Материалы: http://tinyurl.com/y9r2ztm4 или https://www.dropbox.com/sh/u91oqqziavsgiqz/AAAYtDdCmSpw1ooqXOPElM4Oa
Домашние задания: нужно прочитать II и III главы Хартсхорна, и прорешать там почти все упражнения. Упражнения, которые лично вам нужно устно сдать учебному ассистенту указаны в файле problems.txt.

Расписание и краткое содержание:

25.12, письменный экзамен
• 12.11, последнее занятие перед экзаменом
• 12.04, разбор задач
• 11.27, лекции 14-15
• 11.20, доклады Ю.Котельниковой и А.Абашевой; лекции 12-13, в которых мы наконец познакомимся с (не)плоскими и (не)гладкими морфизмами
• 11.13, лекции 10-11 про вычисление производных функторов и когомологий пучков O-модулей и (квази)-когерентных пучков feat. Derived Functor Rap (слова P.Bressler, исполнение и комментарий К.Ступаков), вычисление Серра когомологий обратимых пучков на проективном пространстве; келеровы дифференциалы и каноническое расслоение
• 11.06, доклады Д. Журбенко и А. Загвоздкина; разбор задач из пп 5-6 про формулу проекции, носитель, ранг пучка, K-группу; лекция 9 про классические производные функторы, категории производные от абелевых, определение когомологий когерентных пучков, эйлерову характеристику
• 10.30, лекция 8 про поведение дивизоров при расширении базы, про отображения в P^n, локально тривиальные расслоения, векторные расслоения и их проективизацию, раздутия ; доклад Н.Почекая
• 10.23, окончание доклада А.Шляпугина; лекция 7 про дивизоры Вейля и Картье, группу классов дивизоров и её вычисления, рефлексивные/обратимые пучки ассоциированные с классами дивизоров Вейля/Картье
• 10.16, лекции 5-6 про пучки O-модулей, сопряженность прямого и обратного образа, (квази)-когерентные пучки, обратимые пучки, глобально порожденные пучки и обильные пучки, Proj и O(n), отображения в проективные пространства (и функтор точек), критерий проективности, теорема A Серра, дивизоры Вейля и Картье
• 10.09, доклады К.Мазура, А.Абашевой, В.Рогова; начало доклада А.Шляпугина
• 10.02, доклад Д.Крекова; лекция 4 про диагональные морфизмы, отделимость, собственность, проективность, кольца дивизориальных нормирований и валюативные критерии
• 09.25, семинар 3 - упражнения из II.2.*; лекция 3 про свойства морфизмов, открытое и замкнутые вложения, кольцо Гротендика многообразий
• 09.18, семинары 1 и 2: разбор упражнений II.1.*; пример нелокального морфизма локально окольцованных пространств
• 09.11, лекция 2: схемы
• 09.11, лекция 1: пучки
• 09.04, лекция 0 и семинар 0: обсуждение того, что будет в этом курсе, и того, что предполагается известным

Доклады:

• 11.29, Анна Абашева: Когомологии Чеха и теорема Демазюра о когомологиях линейных расслоений на торических многообразиях
• 11.29, Юлия Котельникова: когомологический критерий аффинности Серра
• 11.06, Андрей Загвоздкин: любой бирациональный проективный морфизм это раздутие пучка идеалов
• 11.06, Дмитрий Журбенко: любой морфизм, такой что прообраз идеала I является локально главным, отображается в раздутие с центром в I
• 10.30, Николай Почекай: флоп Атьи
• 10.23, Антон Шляпугин: критерий полноты торических многообразий
• 10.09, Антон Шляпугин: торические многообразия
• 10.09, Василий Рогов: непроективные собственные многообразия - пример Хиронаки и торический пример
• 10.09, Анна Абашева: валюативный критерий собственности
• 10.09, Кирилл Мазур: валюативный критерий отделимости
• 10.02, Дмитрий Креков: топология Гротендика

Примерная программа: Схемы и их морфизмы. Расслоенные произведения и их применения. Относительная точка зрения. Функтор точек. Отделимость, собственность и проективность. Плоскость и многочлен Гильберта. Семейства схем и пределы. Дифференциалы, гладкость. Когерентные пучки, их когомологии и высшие прямые образы, теорема полунепрерывности. Proj, раздутие. Геометрические применения - кривые, поверхности.

Чтение:

• Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия. Этот учебник является "общей точкой" большинства современных алгебраических геометров. Курс примерно соответствует этому учебнику начиная со 2 главы. В учебнике много упражнений, решайте их.
• И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии Вторая книга (главы 4 и 5).
• Д. Мамфорд, Красная книга о многообразиях и схемах
• Д. Мамфорд, Лекции о кривых на алгебраической поверхности
• D. Eisenbud, J. Harris, The Geometry of Schemes. Может служить дополнением к Хартсхорну. Содержит интересные примеры и упражнения (например, раздутия в неприведённых подсхемах).
• Ж.П.Серр, Когерентные алгебраические пучки. Во 2 томе собрания сочинений.
• С. М. Львовский, Введение в когомологии пучков (c1) М.: МЦНМО, 2000, 128 с.
• R. Vakil, Foundations of Algebraic Geometry, https://math216.wordpress.com. Некоторым изложение Вакиля нравится больше, весь учебник можно скачать на сайте автора большим pdf-файлом около 700 страниц.
• A. J. de Jong и другие, Stacks Project, http://stacks.math.columbia.edu/browse. Можно скачать отдельные главы в виде tex или pdf (например, http://stacks.math.columbia.edu/download/schemes.pdf), либо читать онлайн в html или pdf. Удобно пользоваться гиперссылками (html ссылаются на другие html, а pdf ссылаются на pdf).
• Macaulay 2. Также см. пример решения задач из Айзенбада-Харриса с помощью М2: G. Smith, B. Sturmfels, Teaching the Geometry of Schemes,
• SageMath.org. В особенности Sage Reference Manual: Schemes, 462 страницы,
• Смотрите также другие рекомендации.

Экзамен: 25 декабря с 10:30.
Пререквизиты: Этот курс будет наиболее полезен тем слушателям, которые уже освоили основы коммутативной алгебры, гомологической алгебры, теории пучков, а также имеют базовое представление об алгебраической геометрии, в объёме одной из перечисленных книг или курсов:

• Коммутативная алгебра. Например Атья,Макдональд, Введение в коммутативную алгебру. Если ещё нет - пройдите курс К. Брава осенью 2017.
• Начала алгебраической геометрии. Д.Харрис "Алгебраическая геометрия. Первый курс.", М.Рид "Алгебраическая геометрия для всех", 1-ая глава Хартсхорна, W.Fulton "Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry", итд, Если ещё нет - пройдите курс А. Городенцева осенью 2017.
• Пучки и гомологическая алгебра. Р.Годеман "Алгебраическая топология и теория пучков", Если ещё нет - пройдите курс весной 2018.

С курсом "Комплексно-аналитическая алгебраическая геометрия" (весна 2018, М. Вербицкий) зависимости нет, но два курса дополнительны друг к другу.