ВВЕДЕНИЕ

 1. Два разных языка

Эту книгу я хотел бы написать так, чтобы ее поняли как математики, так и физики. Это очень трудная задача. Один раз я пытался ее решить, когда писал свою первую книгу "Теория возмущений и асимптотические методы", но получилось так, что ни те, ни другие не поняли.

Почему это трудно? Потому что язык у физиков и у математиков совершенно разный и логика разная. Когда люди говорят пусть даже на одном и том же русском языке, но используют разные его стили, разные жаргоны, то может получиться полная ерунда.

Об этом хорошо написано в рассказе Чехова "Новая дача". Когда инженер, приехавший строить мост, говорит крестьянам: "Мы же к вам хорошо относимся, платите и вы нам той же монетой", то крестьянин реагирует так: "Монетой не монетой, а по гривенничку со двора надо будет собрать." Так что разница в языке играет существенную роль. В качестве примера я постараюсь рассказать несколько эпизодов из моей жизни, которые эту роль прояснят.

Первый эпизод такой. Я обнаружил в книге Б. Б. Кадомцева "Коллективные явления в плазме" [Москва, "Наука", 1976] на странице 76 утверждение об асимптотике одного интеграла "при больших Т". Далее уже на 77-й странице автор пишет: "А при очень больших Т этот самый интеграл будет выглядеть по-другому". Эта книга замечательная, более того, является моей настольной книгой, и Б. Б. Кадомцев - замечательный физик, но такие пассажи математику понимать трудно. И мне пришлось очень долго разбираться, что это на самом деле означает. Оказалось, что просто есть еще один большой параметр, о котором как бы умалчивается. По отношению к этому параметру первоначальные Т будут того же самого порядка, а "очень большие Т" - гораздо большего порядка, чем этот большой параметр.

Вообще, с малыми и большими параметрами, которые используют физики, довольно трудно разобраться. Тот же Кадомцев на странице 150 и 151 постоянно пишет: "малой, но конечной амплитуды". Четко сформулировать, что это значит и как используются эти малые параметры, это уже задача математиков.

Однако чаще всего навести математический порядок в физическом тексте чрезвычайно трудно. Физик может отбрасывать какие-то члены, зная из эксперимента, что они малы, а иногда и просто подгоняет под эксперимент. Эти манипуляции напоминают мне известную притчу об отце Онуфрии: "Отец Онуфрий оторвал огурец, оторвав, откусил, откусив, отплюнул, отплюнув, отбросил". Математику же иногда трудно догадаться, почему физик отбросил те или иные слагаемые. Боголюбов говорил, что он всю жизнь занимался тем, что искал малые параметры.

Даже если физики и математики что-то доказывают примерно одинаково, то располагают это в разном порядке. Так, математик сначала формулирует результат в виде теоремы, а потом ее доказывает. Физик же делает вывод, а результат этого вывода (или теорему) формулирует потом.

В каком-то смысле математический подход лучше, потому что сначала формулируется результат. Но при этом математический текст труднее понимать, чем физический, потому что последний не содержит разных дополнительных условий, которые обычно содержит теорема. Например, условие принадлежности функции к такому-то классу. Это все, так сказать, пропускается мимо, поэтому текст читается гораздо проще. Я бы сказал так, что если фи- зический и математический тексты посвящены одному и тому же, то иногда по физическому тексту можно четко восстановить математическое доказательство. Для понимания лучше, чтобы сначала следовал физический текст, как бы предварительный, эвристический, а затем уже - математическое и подробное доказательство.

Или еще пример. У математиков Фурье-образ функции от х уже является функцией от сопряженной переменной, скажем, функцией от k, а от х уже не зависит. Но у Кадомцева в книге, о которой шла речь, на 200-й странице определен Фурье-образ функции Е, как В от k, а дальше это E_k все равно зависит от х. На странице 205 это E_k дифференцируется по х. Другое "недоразумение" встречается в "Термодинамике, статистической физике и кинетике" Ю. Б. Румера и М. Ш. Рывкина ["Наука", Москва, 1972]. Равновесное состояние ферми- и бозе-газа в этой книге ищется с помощью дифференцирования энтропии по переменному числу частиц N_i, обладающих энергией \epsilon_i, при постоянном фиксированном числе g_i (g_i число "ячеек"). Далее на странице 142 авторы пишут, что G_i пропорционально числу частиц N_i.

С другой стороны, физики не могут понять, что же математики хотят доказать, и не принимают косвенных доказательств.

Я приведу пример моей беседы с теперь уже знаменитым физиком Анатолием Александровичем Власовым.

Я тогда был студентом на кафедре, которой он заведовал. У меня на втором или третьем курсе появились математические интересы. Я захотел переходить на мехмат и обратился к заведующему кафедрой Власову, с которым у меня были очень хорошие отношения:

- Анатолий Александрович, я решил переходить на мех-мат, подпишите, пожалуйста, мне заявление.
- Нет, - говорит он, - я просто так Вас не отпущу. Я сначала проверю ваши математические способности. Решите мне математическую задачу, и только после этого я вашу бумагу подпишу.

Я говорю:
- Хорошо, дайте, пожалуйста, задачу.

И Власов дает мне задачу:
- Решение волнового уравнения можно представить в виде формулы для запаздывающего потенциала, а можно - для опережающего. Докажите, что эти две формулы совпадают.

Я отвечаю:
- Хорошо, я это могу сделать.

Потом доказываю ему: решение волнового уравнения единственно при одних и тех же начальных данных. Проверяем начальные данные, проверяем то, что эти выражения удовлетворяют волновому уравнению, те и другие начальные данные совпадают, следовательно, эти решения совпадают.

Власов говорит:
- Нет, я этого не понимаю. Вы докажите, что они равны, а не философствуйте.
- Анатолий Александрович, позвольте, - отвечаю я, - давайте я прямо по пунктам буду доказывать. А в каждом пункте, с котором Вы не согласны, Вы так мне и скажете: Я не согласен. Давайте так рассуждать.

Дальше я начинаю доказывать по пунктам: сначала докажем, что это единственно, затем, что удовлетворяет тому-то и тому-то, а раз так, то пишем разность и так далее. Иначе говоря, стал объяснять более подробно, как студенту. Он соглашается со мной:
- Да, с этим пунктом я согласен, и с этим пунктом согласен и так далее. Я говорю:
- Анатолий Александрович, вот Вы со всеми пунктами согласны, так что получается, что они равны. Он:
- Нет, я не понимаю.

И тем самым он отказывается подписать мне бумагу. И уходит. Я за ним вприпрыжку:
- Анатолий Александрович, вот Вы же сказали, что и с этим согласны, и с этим. Он опять:
- Но я не понимаю.
И так, быстро спускаясь по лестнице, он начал бить себя по лбу и говорить:
- Я не понимаю. Я - дурак. Да, я - дурак и не понимаю.

Так что А. А. Власов не мог воспринять косвенное доказательство. Он хотел только, чтобы я непосредственно вывел из одной формулы другую. Еще был такой эпизод. Мой ученик В. Дубнов защищал свою дипломную работу и должен был получить отметку. Тогда я уже работал на кафедре математической физики, а от кафедры теоретической физики присутствовал Анатолий Александрович Власов. И вот он задал моему ученику вопрос: "Можно ли через две точки провести прямую?" Дубнов посмотрел в пол, подумал минуту и сказал: "М-м-м, можно". Тогда Власов вскочил и закричал: "Два! Вот она, ваша топология! Никогда, сколько бы вы ни целились, из одной точки в другую вы не попадете!" И, между прочим, как раз эта идеология и послужила основой для того, чтобы он написал свои знаменитые уравнения Власова.

Физики не очень хорошо понимают параметры и асимптотики. Я, по крайней мере, могу назвать одного замечательного физика Якова Борисовича Зельдовича, испытывавшего большие трудности при выступлении на математическом семинаре. Он, кстати, очень стесняясь, хотя был совсем не робким человеком, рассказывал на семинаре Гельфанда свою работу. При этом никак не мог объяснить то, что у него приведены асимптотические формулы. Я был тогда студентом и с места пытался крикнуть: "Это - асимптотика по высокому барьеру". Но Гельфанд замахал на меня рукой, чтобы я не вмешивался.

Позднее, когда Зельдович уже занимался космологией, я иногда звонил ему и спрашивал, например, о какой-нибудь моей формуле, годится она или нет. Тогда он в уме начинал очень быстро считать: "Так-так, десять в минус десятой, то-то и то-то в минус пятнадцатой... ", и отвечал: "Нет, эта формула не подходит". Я- то только мог сказать, что имеются такие-то асимптотики по таким-то параметрам, а он умел сразу усмотреть в них числа. Вместе с тем, на докладе у Гельфанда, как я говорил, он побаивался и не мог исчерпывающе объяснить свою работу.

Я также помню доклад Фрадкина на семинаре Гельфанда. Ему тоже приходилось трудновато. Так что у физиков и математиков есть момент взаимного непонимания и даже некоторого презрения.

С другой стороны, как-то один из крупнейших математиков делал доклад на семинаре Ландау. Кажется, доклад был о методе наименьших квадратов. Мне об этом рассказывал один человек, возможно, он преувеличивал. Ландау спросил у этого человека о докладчике:

- Что, Л. - совсем дурак? - Ну что Вы. - Ну а что у него есть? - У него есть оценки в теории вероятности. - Оценки, - сказал Ландау, - я не считаю результатом. - У него есть серьезные работы по теории чисел. - Теорию чисел я не считаю наукой.

При этом физики часто хотят, чтобы им были предъявлены на их языке некоторые мнемонические правила (типа правила "буравчика"), и между физиком и математиком происходит разговор, похожий на описанный в "Свадьбе" Чехова: Ять: "Не хватает электрического освещения". Жигалов: "Нет, брат, ты давай огня, который натуральный, а не умственный". Когда на докладе я предъявляю новую формулу, математики просят: "Наметьте доказательство", а физики спрашивают: "Как Вы до этого додумались?". У физиков в их мышлении всегда очень большую роль играет эксперимент. Например, знаменитая формула Планка, полученная в начале века и давшая константу Планка (только позже, в 1915 году Бозе усмотрел в ней статистику Бозе-Эйнштейна), сразу совпала с экспериментом. Именно этого и добивался Планк, когда угадывал эту формулу.

Так же и другие физики учитывают и держат в голове одновременно большое количество экспериментов и объясняют, почему откинули тот или иной член в каких-то соотношениях. Можно из логических соображений привести этому контрпример из другой области. Но в конечном счете оказывается, что формула правильная.

Расскажу еще один эпизод. Я когда-то еще в шестьдесят четвертом году написал асимптотику для фейнмановского континуального интеграла и метод стационарной фазы, куда вошел индекс Морса.

Я написал формулу и доказал ее косвенным образом, потому что континуальный интеграл еще не был математически строго введен. Потом выясняется, что физики стали сами эту формулу выводить, и я тут оказывался как бы ни при чем. Тогда Л. Д. Фаддеев одному из физиков сказал:

- Что же Вы делаете? Это же Маслов доказал. - Нет, - отвечает физик, - Маслов не доказал, он просто догадался, но он же не показал, что так получается, он не вывел эту формулу. А вот мы ее сейчас выведем.

Этим они как бы вывели меня из терпения, и я решил написать доказательство на "физическом" языке. Я написал как бы пародию на доказательство: "Вот здесь фейнмановский интеграл, вот там вставим фейнмановскую диафрагму, вот тут проходят такие-то траектории, а вот - трубка" и т.п. Одним словом, я бы это назвал пародией на доказательство и опубликовал все это в журнале "Тео- ретическая и математическая физика". Эту статью физики поняли, стали на нее ссылаться, и эта формула осталась за мной. Но когда Гюллимен и Стенберг выпустили книгу "Геометрические асимптотики", посвященную, в частности, моим работам, то они написали там так: "Вот это - формула Маслова, а вот - "доказательство" Маслова". Привели это "доказательство" и поставили кавычки. Эта книга и еще одна физическая статья повредили мне тем, что мате- матики стали говорить: "А он не настоящий математик, его работы надо еще строго доказывать". Вот так я метался между этими двумя языками. Есть еще такой момент. У Фока была приведена формула, которая легко доказывалась методом стационарной фазы. Потом эту формулу привел Ю. Егоров. В. И. Арнольд, которому Ю. Егоров дал эту формулу в качестве заметки в "Успехи математических наук", спросил меня, стоит ли, по моему мнению, публиковать эту работу. Я сказал, что, по-моему, стоит, т. к., они разговаривают на разных языках. Хотя, с одной стороны, это, конечно, то же самое, но, с другой стороны, это - разные языки. Арнольд опубликовал эту работу. В результате эта теорема стала знаменитой теоремой Ю. Егорова, которая вошла во все учебники.

Вместе с тем, если посмотреть на послесловие Фока к книге Дирака, можно заметить, что если брать асимптотику по большим частотам, то формула при этом получается такая же, как если бы мы брали асимптотику по гладкости. Что касается доказательства, то в моей книжке [Maslov V. P. and Shvedov O. Yu. An Asymptotic Formula for the N-Particle Density Function as n -> \infty and a Violation of the Chaos Hypothesis, Russian Journal of Mathematical Physics, vol.2, no.2, 1994, pp. 217-234] я на эту формулу ссылался и писал, что из метода стационарной фазы доказательство очевидно. Тем не менее, это разные подходы, разные языки и разные понимания. Хочу привести еще такой эпизод, хотя он больше похож на анекдот. Это произошло с человеком, которого я хорошо знал - он учился на курс старше меня. Про него рассказывали, что когда его хотели призвать в армию, он принес справку о том, что он сумасшедший, но теоретической физикой заниматься может. Один преподаватель рассказывал про этого студента следующее. Во время ответа на экзамене он сказал, что такой-то факт основывается на лемме о том, что сумма модулей равна модулю суммы. Преподаватель - это был Борис Михайлович Будак (он мне и рассказал этот эпизод) - очень остроумный человек, говорит: "Хорошо, лемма очень интересная, пожалуйста, докажите ее". Через какое-то время он, походив между рядами, снова подошел к этому студенту и спросил: "Ну как, доказали?". "Да, конечно, я доказал", - отвечает тот. "И как же?", - допытывается преподаватель. "А я рассмотрел огромное число примеров и в подавляющем большинстве случаев это так". Этот "анекдот" про моего знакомого, кстати, очень милого человека, который впоследствии действительно успешно занимался теоретической физикой, на самом деле имел место. Всем известно доказательство физиков того, что все нечетные числа простые: один - простое число, три - простое число, пять - тоже простое число, семь - тоже, девять - это редкое исключение, одиннадцать - простое, тринадцать - простое, достаточно, доказательство закончено. В этой шутке есть доля истины.

Известно, какому разгрому подверг Ландау доклад Боголюбова, когда он рассказывал свою знаменитую работу 1947-го года о сверхтекучести. Я знаю, хотя не был тогда с ним знаком, насколько он переживал этот "разгром". Ему в тот же день позвонил академик И.М.Виноградов, поставивший его доклад на отделении математики и физики, и сказал: "Николай Николаевич! Что же Вы так меня подвели". Николай Николаевич всю ночь пересчитывал, а утром позвонил И.М.Виноградову и сказал: "Иван Матвеевич, я пересчитал, все правильно".

Потом, как говорят, Мигдал две недели проверял работу Боголюбова, и, наконец, ее как-то признали. Так что вторгаться в область других наук очень не просто. Тем не менее, хотелось бы, чтобы физики эту мою работу восприняли и поняли.

Непонимание в языке, или вернее в жаргоне, между физиками и математиками столь велико, что напоминает известный анекдот: Учитель говорит ученику, написав на доске уравнение: "Найдите x", а тот отвечает, указав на доску: "Да вот же он".

В. И. Арнольд рассказывал мне недавно, что когда-то он решил одну задачу, поставленную физиками. Его научный руководитель А. Н. Колмогоров рекомендовал ему послать эту работу в физический журнал, поскольку она представляет интерес для физиков и задача-то была поставлена физиками. Арнольд послал ее в ЖЭТФ. Через некоторое время ему позвонил академик Леонтович, с семьей которого семья Арнольда была дружна, и сказал: "Дима, приходите ко мне, я сварю гречневую кашу и мы поговорим о Вашей статье". Арнольд пришел, и Леонтович ему сказал: "Вы употребляете там слова "поверхность тора" и "мера", а физики не знают, что это такое; слово "доказательство" физики тоже не признают. Поэтому ешьте кашу, а статью Вашу мы отклоняем". Позже Арнольд узнал, что отзыв давал сам Ландау, а Леонтович только передавал его слова. Арнольд напечатал статью в ДАН и в дальнейшем на нее было огромное количество ссылок в физической литературе (и только в физической), а те слова, которые вызвали протест, давно утверди- лись и в физических учебниках.

Этот рассказ напомнил мне слова известного композитора Николая Метнера, когда он прослушал "Стальной скок" Сергея Прокофьева: "Если это - музыка, то я - не музыкант".

Когда я делал доклад у физиков на самом престижном семинаре по данному вопросу, на котором присутствовали не только теоретики из Института физических проблем, но и физики из Института Ландау, то, объясняя переходы с одного уровня энергии на другой, я изобразил уровни параллельными отрезками. Уровни энергии - это, фактически, точки, а я просто для наглядности нарисовал их черточками. Мне задали вопрос: "Почему они у Вас эквидистантны?" Я ответить не успел, т. к. за меня ответил кто-то из членов се- минара. После чего началось довольно бурное обсуждение вопроса, почему они эквидистантны. После некоторых прений и переговоров обсуждение закончилось тем, что встал руководитель семинара и громким голосом объяснил, что на самом деле я имел в виду. Я совершенно ничего не понял, но промолчал, чтобы не затягивать доклад до бесконечности. История с этими черточками напомнила мне историю со стихотворением Валерия Брюсова. Он декламировал его в компании поэтов и, возможно, своих поклонников. В стихотворении была фраза: "Упаду на седой подоконник". Тут же все стали обсуждать, что Брюсов имел в виду и почему он так написал. И так эту фразу интерпретировали, и этак, а потом спросили: "Что же Вы имели в виду в таком определении подоконника?" Брюсов ответил: "Просто он у меня такого цвета".