You can
consult an English version of
this page. You can
consult an English version of
this page.
Уравнения в частных производных, оптимизация, динамические системы, теория вероятностей, статистическая физика, численные методы.
В середине 90-х годов было обнаружено (P Martin & J. Piasecki 1994; W. E et al 1996; Y. Brenier & E. Grenier 1998), что некоторые вырожденные квазилинейные системы законов сохранения ("газовая динамика без давления") в одномерном случае обладают обобщенными решениями необычного типа: дельта-образные сингулярности одних неизвестных функций совмещены с разрывами других, что делает нетривиальным уже само определение этих решений. Физический смысл таких систем связан с моделированием возникновения крупномасштабной структуры в космологии (S.F. Shandarin, Ya.B. Zel'dovich 1989). В этой области мне удалось получить конструкцию решения методом исчезающей вязкости (Соболевский 1997) и несколько прояснить причину, почему полученные результаты не переносятся на случай нескольких измерений (Андриевский и др. 2007).
Другая интересная математическая модель возникновения крупномасштабной структуры формулируется в терминах оптимизации транспорта. Реализованный совместно с коллегами из Франции эффективный численный метод восстановления пекулярных скоростей галактик по каталогам их пространственных положений (U. Frisch et al 2002; Y. Brenier et al 2003), основанный на оптимизации транспорта, позволил получить новые оценки средней плотности вещества и масс некоторых кластеров галактик (см. обзор R. Mohayaee & A. Sobolevskiĭ 2008).
Уравнение Бюргерса (или Гамильтона-Якоби) - это простейшая математическая модель переноса вещества, обладающая многими свойствами упомянутых выше оптимизационных задач и представляющая интерес и сама по себе, особенно при наличии внешней силы. Периодическая внешняя сила приводит к появлению стационарных режимов, описываемых в рамках "слабой КАМ-теории" (мои результаты в этом направлении опубликованы в Соболевский 2000), непериодическая - может приводит к катастрофам, исключающим продолжение решения даже в обобщенном смысле (K. Khanin et al 2004).
Перечисленные выше и многие другие нелинейные оптимизационные задачи оказывается возможным сформулировать как задачи линейной алгебры с операциями min, + вместо сложения и умножения. Некоторый интерес представляют постановки задач (min, +)-линейной оптимизации с интервальной неопределенностью, исследованные нами совместно с Г.Л. Литвиновым (Г.Л. Литвинов и др. 2000).
Список (почти) всего, что хотелось бы еще успеть прочитать и понять, см. в моей библиотеке на CiteULike.
См. на CiteULike списки моих публикаций в реферируемых изданиях и препринтов в arXiv'е.
Российско-французский проект "Optimal Transport: Theory and Applications to cosmological Reconstruction and Image processing" (OTARIE), финансируемый Национальным агентством по научным исследованиям Франции.
Член оргкомитета международных конференций и семинаров:
Рецензент, переводчик, редактор: